النسب المئوية المتتالية — الزيادة والنقصان المتراكمان

النسب المئوية المتتالية — الزيادة والنقصان المتراكمان

في هذا الدرس ندرس موضوع "النسب المئوية المتتالية — الزيادة والنقصان المتراكمان" في القسم الكمي من اختبار القدرات العامة GAT. هذا الموضوع ضروري لإتقان مسائل النسب المركبة. سنقدم شرحاً مبسطاً مع أمثلة تطبيقية ونماذج أسئلة.

المفهوم الأساسي

موضوع "النسب المئوية المتتالية" يتعلق بفهم بنية القسم الكمي في GAT. لإتقان هذا الموضوع يجب الإلمام بالمفاهيم التالية:

• النسبة المئوية: جزء من مئة — 20% = 20/100 = 0.2 — تحويل الرقم بمضاعفة القسمة
• الزيادة بنسبة: ضرب المبلغ في (1 + النسبة) — زيادة 20%: القيمة × 1.2
• النقصان بنسبة: ضرب المبلغ في (1 - النسبة) — نقصان 20%: القيمة × 0.8
• النسب المتتالية: تطبيق زيادة ثم زيادة أو نقصان ثم زيادة — كل نسبة تحسب على الناتج السابق
• الخطأ الشائع: جمع النسب ثم تطبيقها مرة واحدة — 20% ثم 20% لا تساوي 40%
• المعامل المضاعف: حاصل ضرب عوامل التغيير — زيادة 10% ونقصان 10%: 1.1 × 0.9 = 0.99 (نقصان 1%)

شرح تفصيلي

لدراسة "النسب المئوية المتتالية" بشكل متقن، نتبع المنهج التالي: فهم القاعدة الأساسية، الاطلاع على الأمثلة المتعددة، ثم التطبيق العملي على أسئلة متنوعة. كلما تدربت أكثر، أصبحت أكثر إتقاناً للمادة.

الخطأ الأكبر في مسائل النسب المتتالية: جمع النسب. "ارتفع السعر 20% ثم ارتفع 30%" لا تعني ارتفاع 50% — لأن النسبة الثانية تحسب على السعر الجديد لا الأصلي. القاعدة الصحيحة: استخدم المعاملات المضاعفة.

المعامل المضاعف للزيادة 20% هو 1.2، وللنقصان 20% هو 0.8. عند التتابع، نضرب المعاملات: سعر 100 ← زيادة 20% (×1.2 = 120) ← نقصان 20% (×0.8 = 96) ← النتيجة: 96 أي نقصان 4% من الأصلي رغم تساوي النسبتين! السر: 1.2 × 0.8 = 0.96 — النقصان طُبق على القيمة الأكبر (120) فكان أثره أكبر.

هذه الحقيقة العامة: أي زيادة بنسبة ن ثم نقصان بنفس النسبة ن تؤدي إلى نقصان صافٍ بنسبة ن². فزيادة 10% ونقصان 10% = نقصان 1%، وزيادة 50% ونقصان 50% = نقصان 25% (1.5 × 0.5 = 0.75). حفظ هذه القاعدة يحل أسئلة المقارنة فوراً.

الأسئلة النمطية المتتالية

الأنماط المتكررة في GAT:

1. زيادتان متتاليتان: "زاد السعر 10% ثم 10%" — المعامل 1.1 × 1.1 = 1.21 ← زيادة إجمالية 21% وليست 20%.
2. نقصانان متتاليان: "خصم 10% ثم خصم 10%" — المعامل 0.9 × 0.9 = 0.81 ← خصم إجمالي 19%.
3. زيادة ونقصان: "ربح 20% ثم خسارة 20%" — 1.2 × 0.8 = 0.96 ← خسارة صافية 4%.
4. النسبة العكسية: "زاد عدد الطلاب 25% — كم يجب أن ينقص لي عود للسابق؟" — العامل 1.25 = 5/4 — العكس: × 4/5 = نقصان 20%.
5. مقارنة تراكمية: "أ زاد 50% ثم زاد 50%، وب زاد 100%" — أ: 1.5 × 1.5 = 2.25 (125% زيادة)، ب: 2 (100% زيادة) — أ أكبر.
6. استرجاع السعر الأصلي: "بعد خصم 20% بيع بـ 80 ريالاً — ما السعر قبل الخصم؟" — 80 ÷ 0.8 = 100 (القسمة لا الضرب).

القاعدة الحاسمة عند استرجاع السعر الأصلي: القيمة بعد التغيير ÷ المعامل = القيمة قبل التغيير. خطأ شائع: ضرب القيمة النهائية في النسبة بدل القسمة.

مثال محلول خطوة بخطوة

السؤال: "رأسمال 2000 ريال. زاد 25% ثم نقص 25%. ما الناتج النهائي؟"

الخطوة الأولى: المعاملات: زيادة 25% = ×1.25، ونقصان 25% = ×0.75. الخطوة الثانية: المعامل الكلي = 1.25 × 0.75 = 0.9375. الخطوة الثالثة: الناتج = 2000 × 0.9375 = 1875 ريالاً. الخطوة الرابعة: التحقق: 2000 × 1.25 = 2500، ثم 2500 × 0.75 = 1875 ✓ — والنسبة الصافية: نقصان 6.25% (25%² = 6.25%). الإجابة: 1875 ريالاً.

سؤال اختبار (MCQ)

السؤال: ارتفع سعر سلعة 20% ثم انخفض السعر الجديد 20%. مقارنة بالسعر الأصلي، السعر النهائي:

1. أ) أعلى بنسبة 4%
2. ب) مساوٍ للسعر الأصلي
3. ج) أقل بنسبة 4%
4. د) أقل بنسبة 20%

الإجابة الصحيحة: ج

الشرح: الخيار (ج) صحيح: المعامل الكلي = 1.2 × 0.8 = 0.96 — أي نقصان صافٍ 4% (قاعدة ن²). (أ) يعكس الاتجاه، و(ب) وهم التساوي الشائع، و(د) يسقط أول ارتفاع.

تطبيق إضافي

السؤال: سعر سلعة 250 ريالاً خضعت لخصمين متتاليين 10% ثم 20%. ما السعر النهائي؟

الإجابة: 180 ريالاً.

الشرح: المعامل الكلي = 0.9 × 0.8 = 0.72 — و 250 × 0.72 = 180. لاحظ أن الخصم الإجمالي 28% وليس 30% (0.9 × 0.8 = 0.72 ← خصم 28%). جمع الخصمين ثم التطبيق المرة الواحدة ينتج 175 (خطأ).

خلاصة الدرس

النسب المئوية المتتالية في GAT تعتمد على: المعاملات المضاعفة (زيادة ×1.ن، نقصان ×0.ن)، وضرب المعاملات لا جمع النسب، وقاعدة التساوي (زيادة ن% ثم نقصان ن% = نقصان ن²%)، واسترجاع السعر الأصلي بالقسمة على المعامل، وتمييز الأنماط الستة. القاعدة الذهبية: كل نسبة تحسب على الناتج السابق لا على السعر الأصلي — فالمعاملات تتفوق على الجمع دائماً.