المجموعات والعد — أسئلة التعداد المنطقي

المجموعات والعد — أسئلة التعداد المنطقي

في هذا الدرس ندرس موضوع "المجموعات والعد" في القسم الكمي من اختبار القدرات العامة GAT. هذا الموضوع ضروري لحل أسئلة التعداد المنطقي الشهيرة. سنقدم شرحاً مبسطاً مع أمثلة تطبيقية ونماذج أسئلة.

المفهوم الأساسي

موضوع "المجموعات والعد" يتعلق بفهم بنية القسم الكمي. لإتقان هذا الموضوع يجب الإلمام بالمفاهيم التالية:

• مبدأ العد الأساسي: إذا كان هناك خياران متتاليان بعدد طرق (أ) ثم (ب)، فالعدد الكلي = أ × ب
• مبدأ الجمع: إذا كانت الخيارات متبادلة (أو) فالعدد الكلي = أ + ب
• مجموعتان متداخلتان: الكل = المجموعة الأولى + الثانية - التقاطع (لأن المتداخل يُعد مرتين)
• مخطط فن: تمثيل بصري للمجموعات المتداخلة يسهل حل مسائل التقاطع
• العداد المنطقي: عد الحالات الممكنة وفق شروط — ترتيب وتعداد بدون حصر يدوي
• الأخطاء الشائعة: عد العنصر مرتين (التقاطع)، أو نسيان الحالات الطرفية

شرح تفصيلي

لدراسة "المجموعات والعد" بشكل متقن، نتبع المنهج التالي: فهم القاعدة الأساسية، الاطلاع على الأمثلة المتعددة، ثم التطبيق العملي على أسئلة متنوعة. كلما تدربت أكثر، أصبحت أكثر إتقاناً للمادة.

مسائل المجموعات والعد في GAT تظهر في صورتين رئيسيتين: مسائل التقاطع (مجموعتان أو ثلاث يتداخلان) ومسائل التعداد (عدد الطرق لاختيار أو ترتيب). الاثنان يخدعان الطلاب الذين يعدون يدوياً أو ينسون التقاطع. الحل المنظم بالقواعد يجعلها من أسرع المسائل درجةً في الاختبار.

مسائل التقاطع: القاعدة الذهبية — الكل = أ + ب - (التقاطع) + (خارج المجموعتين). مثال: "في فصل 30 طالباً، 18 يحبون الرياضيات و 15 يحبون العلوم، و 6 يحبونهما معاً. كم طالباً لا يحب أياً منهما؟" — الخطوات: مجموع المحبين = 18 + 15 = 33 (المتداخلون عدوا مرتين)، اطرح التقاطع: 33 - 6 = 27 يحبون واحداً على الأقل. الطلاب خارج المجموعتين = 30 - 27 = 3. هذا النوع يتكرر في GAT بصيغ متعددة (مواد، هوايات، لغات)، وحلّه بالخطوات الثلاث (اجمع، اطرح التقاطع، اطرح من الكل) ثابت.

مسائل التعداد: القاعدة — اضرب عدد الخيارات في كل خطوة. مثال: "كم عدداً من ثلاثة أرقام يمكن تكوينه من الأرقام 1، 2، 3، 4 دون تكرار؟" — الخانة الأولى: 4 خيارات، الثانية: 3 (بعد استخدام الأول)، الثالثة: 2 ← الإجمالي = 4 × 3 × 2 = 24. والخانة الأولى لا يمكن أن تكون صفراً في مسائل الأعداد — انتبه لهذا الشرط.

الحالات الخاصة في التعداد

الحالة الأولى: تكرار مسموح — "كم عدداً من رقمين يمكن تكوينه من الأرقام 2، 5، 7 مع السماح بالتكرار؟" — كل خانة 3 خيارات: 3 × 3 = 9.

الحالة الثانية: شرط عدم الصفر في البداية — "كم عدداً من 3 أرقام يمكن تكوينه من 0، 1، 2، 3 دون تكرار؟" — الأولى: 3 خيارات (1، 2، 3 — لا يمكن 0)، الثانية: 3 (بعد استخدام الأول + 0 متاح)، الثالثة: 2 ← 3 × 3 × 2 = 18.

الحالة الثالثة: مسارات — "من المدينة أ إلى ب طريقان، ومن ب إلى ج ثلاثة طرق. كم طريقاً من أ إلى ج مروراً بب؟" — 2 × 3 = 6.

الحالة الرابعة: طرق الذهاب والإياب — "من أ إلى ب 3 طرق. كم طريقة للذهاب والعودة دون استخدام نفس الطريق؟" — الذهاب 3، الإياب 2 (بدون نفس الطريق) ← 3 × 2 = 6.

الحالة الخامسة: التقاطع الثلاثي — "في استطلاع: 40 يحبون أ، 35 يحبون ب، 30 يحبون ج، 15 يحبون أ وب، 10 يحبون أ وج، 12 يحبون ب وج، و 5 يحبون الثلاثة، و 3 لا يحبون شيئاً. كم عدد المستطلَعين؟" — القاعدة: أ + ب + ج - (أ∩ب) - (أ∩ج) - (ب∩ج) + (أ∩ب∩ج) + الخارج = 40+35+30-15-10-12+5+3 = 76. هذه القاعدة تعميم القاعدة الثنائية.

مثال محلول خطوة بخطوة

السؤال: "في مدينة، 60% من السكان يشترون من سوق أ، و 50% من سوق ب، و 20% من السوقين معاً. كم نسبة من لا يشترون من أي سوق؟"

الخطوة الأولى: اجمع النسبتين: 60 + 50 = 110%. الخطوة الثانية: اطرح التقاطع (المشترون من السوقين عدوا مرتين): 110 - 20 = 90% يشترون من سوق واحد على الأقل. الخطوة الثالثة: الخارج من السوقين = 100 - 90 = 10%. الإجابة: 10%.

مثال على التعداد: "كم عدداً زوجياً من رقمين يمكن تكوينه من الأرقام 1، 2، 3، 4 دون تكرار؟" — الشرط: العدد زوجي ← الخانة الأخيرة (الآحاد) من الأرقام الزوجية: 2 أو 4 (خياران). الخانة الأولى (العشرات): الأرقام المتبقية 3. الإجمالي = 3 × 2 = 6 أعداد.

سؤال اختبار (MCQ)

السؤال: في استطلاع لـ 100 طالب: 55 يلعبون كرة القدم، 45 يلعبون السلة، و 20 يلعبون اللعبتين معاً. كم طالباً لا يلعب أياً من اللعبتين؟

1. أ) 20
2. ب) 25
3. ج) 15
4. د) 30

الإجابة الصحيحة: أ

الشرح: الخيار (أ) صحيح: مجموع اللاعبين = 55 + 45 = 100، اطرح التقاطع: 100 - 20 = 80 يلعبون واحدة على الأقل، الخارج = 100 - 80 = 20. الخيار (ب) ينسى طرح التقاطع، و(ج) يطرح التقاطع من مجموع واحد، و(د) يخطئ في العملية.

تطبيق إضافي

السؤال: قاعة بها 5 أبواب. كم طريقة لدخول القاعة والخروج من باب مختلف؟

الإجابة: 20 طريقة.

الشرح: الدخول 5 خيارات، والخروج من باب مختلف: 4 خيارات ← 5 × 4 = 20. لاحظ شرط "مختلف" يقلل خيارات الخروج بواحد.

خلاصة الدرس

مسائل المجموعات والعد تحل بقواعد ثابتة: التقاطع (الكل = أ + ب - التقاطع + الخارج، وبنفس المنطق للثلاث مجموعات مع إضافة التقاطع الثلاثي)، والتعداد (اضرب خيارات كل خطوة، مع الانتباه لشرط الصفر في البداية وعدم التكرار والأعداد الزوجية). تجنب الخطأين الشائعين: عد التقاطع مرتين، ونسيان الحالات الطرفية. تدرب على النمطين وستحصد درجات هذا النوع بسهولة في GAT.