مسائل الزمن والعمل والأنابيب — نماذج متقدمة

مسائل الزمن والعمل والأنابيب — نماذج متقدمة

في هذا الدرس ندرس موضوع "مسائل الزمن والعمل والأنابيب" في القسم الكمي من اختبار القدرات العامة GAT. هذا الموضوع ضروري لإتقان هذا النوع الشهير من المسائل. سنقدم شرحاً مبسطاً مع أمثلة تطبيقية ونماذج أسئلة.

المفهوم الأساسي

موضوع "مسائل الزمن والعمل والأنابيب" يتعلق بفهم بنية القسم الكمي. لإتقان هذا الموضوع يجب الإلمام بالمفاهيم التالية:

• الفكرة الأساسية: معدل العمل = 1 ÷ زمن إنجاز العمل كاملاً
• العمل المشترك: معدلان معاً = معدل الأول + معدل الثاني
• المعادلة الأساسية: (1/زمن الأول) + (1/زمن الثاني) = 1/زمن مشترك
• الأنابيب: نفس فكرة العمل — الأنبوب يملأ الخزان (عمل موجب) والصرف يفرغه (عمل سالب)
• نسبة الإنجاز: عمل جزء من العمل ثم إكماله — حساب المتبقي بعد كل فترة
• التحويلات: تحويل الوحدات (ساعات ↔ دقائق ↔ أيام) قبل الحساب

شرح تفصيلي

لدراسة "مسائل الزمن والعمل والأنابيب" بشكل متقن، نتبع المنهج التالي: فهم القاعدة الأساسية، الاطلاع على الأمثلة المتعددة، ثم التطبيق العملي على أسئلة متنوعة. كلما تدربت أكثر، أصبحت أكثر إتقاناً للمادة.

مسائل الزمن والعمل من أكثر أنواع المسائل تكراراً في GAT الكمي، لأنها تجمع بين المنطق والحساب، وتظهر في ثلاث صور: شخصان يعملان معاً، عمل متقطع، وأنابيب تملأ وتفرغ خزانات. المفتاح الأساسي لكل هذا النوع: تحويل "الزمن الكلي" إلى "معدل عمل لكل وحدة زمن" — فالمعدل هو اللغة المشتركة التي نحل بها كل المسائل.

الفكرة الأساسية: إذا أنجز عامل عملاً في 6 ساعات، فمعدله = 1/6 من العمل كل ساعة. وإذا كان آخر ينجزه في 3 ساعات، فمعدله = 1/3 كل ساعة. وعندما يعملان معاً: المعدل المشترك = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 من العمل كل ساعة، أي ينجزان العمل كاملاً في ساعتين. هذه الفكرة (جمع المعدلات) هي قلب كل المسائل.

القاعدة المهمة في الأنابيب: الأنبوب المملئ يعمل موجباً (معدل إيجابي) والأنبوب المفرغ يعمل سالباً (معدل سلبي). خزان يملؤه أنبوب في 4 ساعات ويفرغه آخر في 6 ساعات: المعدل الصافي = 1/4 - 1/6 = (3-2)/12 = 1/12 ← يمتلئ في 12 ساعة. لاحظ أن الصافي أقل من كل معدل — لأنهما يتعارضان.

النماذج المتقدمة والحالات الخاصة

الحالة الأولى: العمل المتقطع — "عمل أحمد في عمل ينجزه في 10 ساعات، وبعد ساعتين انضم له خالد الذي ينجزه وحده في 15 ساعة. كم يستغرقان لإكمال العمل معاً؟" — الخطوة: ما أنجزه أحمد في ساعتين = 2/10 = 1/5 من العمل، المتبقي = 4/5. المعدل المشترك = 1/10 + 1/15 = (3+2)/30 = 5/30 = 1/6 ← يستغرقان 4/5 ÷ 1/6 = 4/5 × 6 = 24/5 = 4.8 ساعات.

الحالة الثانية: العمل مع تبديل الترتيب — "ينجز عاملان عملاً معاً في 4 ساعات، فإذا أنجز أحدهما نصفه في 5 ساعات، فكم يحتاج الثاني لوحده؟" — معدل الأول = (1/2)÷5 = 1/10. المعدل المشترك = 1/4. معدل الثاني = 1/4 - 1/10 = (5-2)/20 = 3/20 ← زمنه = 20/3 ≈ 6.67 ساعات.

الحالة الثالثة: الخزان بأنبوبين مملئين وواحد مفرغ — "أنبوبان يملآن خزاناً كل منهما في 6 ساعات، وصنبور يفرغه في 12 ساعة. كم يستغرق الامتلاء عند فتحها جميعاً؟" — المعدل = 1/6 + 1/6 - 1/12 = 2/6 - 1/12 = 4/12 - 1/12 = 3/12 = 1/4 ← يستغرق 4 ساعات.

الحالة الرابعة: السرعة في نفس الفكرة — مسائل "آلة تنتج قطعاً" تنطبق عليها نفس المعادلات: آلة تنتج 120 قطعة في 3 ساعات = 40 قطعة/ساعة.

مثال محلول خطوة بخطوة

السؤال: "يمكن لأحمد طلاء جدار في 6 ساعات، ولمحمد طلاء الجدار نفسه في 3 ساعات. كم ساعة يحتاجان معاً؟"

الخطوة الأولى: حوّل الزمن إلى معدلات: أحمد = 1/6 لكل ساعة، محمد = 1/3 لكل ساعة. الخطوة الثانية: اجمع المعدلات: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2. الخطوة الثالثة: المعدل المشترك 1/2 يعني إنجاز نصف العمل كل ساعة، فالزمن الكلي = 1 ÷ (1/2) = 2 ساعات. الإجابة: ساعتان.

مثال آخر: "أنبوب يملأ خزاناً في 8 ساعات وآخر يفرغه في 12 ساعة. إذا فتحا معاً وكان الخزان فارغاً، فكم يستغرق الامتلاء؟" — المعدل الصافي = 1/8 - 1/12 = (3-2)/24 = 1/24 ← الزمن = 24 ساعة.

سؤال اختبار (MCQ)

السؤال: يملأ أنبوب خزاناً في 6 ساعات، ويفرغه أنبوب آخر في 9 ساعات. إذا فُتح الأنبوبان معاً في خزان فارغ، فكم ساعة يستغرق امتلاء الخزان؟

1. أ) 18 ساعة
2. ب) 15 ساعة
3. ج) 12 ساعة
4. د) 3 ساعات

الإجابة الصحيحة: أ

الشرح: الخيار (أ) صحيح: المعدل الصافي = 1/6 - 1/9 = (3-2)/18 = 1/18 ← الزمن = 18 ساعة. الخيار (ب) يجمع الزمنين (6+9) خطأً، و(ج) يستخدم المتوسط الخطأ، و(د) يطرح الزمنين دون استخدام المعدلات.

تطبيق إضافي

السؤال: آلة تنتج 90 قطعة في ساعتين و30 دقيقة. ما معدل الإنتاج بالقطعة في الساعة؟

الإجابة: 36 قطعة/ساعة.

الشرح: حوّل الزمن للوحدة الموحدة أولاً: ساعتان و30 دقيقة = 2.5 ساعة. ثم المعدل = 90 ÷ 2.5 = 90 ÷ (5/2) = 90 × 2/5 = 180/5 = 36 قطعة/ساعة. تحويل الوحدات قبل الحساب يمنع الخطأ الأكثر شيوعاً في هذا النوع.

خلاصة الدرس

مسائل الزمن والعمل والأنابيب كلها تحل بفكرة واحدة: تحويل الزمن إلى معدل (1/الزمن)، ثم جمع المعدلات للعمل المشترك (أو طرح معدل المفرغ للأنابيب)، ثم تحويل المعدل الصافي إلى زمن (1 ÷ المعدل). انتبه للعمل المتقطع (اطرح المنجز من المتبقي)، ولتحويل الوحدات قبل الحساب. تدرب على الحالات الأربع (مشترك، متقطع، تعارض، إنتاج) وستتقن هذا النوع كاملاً في GAT.