الهندسة الإحداثية — النقاط والمستقيمات والميل
في هذا الدرس ندرس موضوع "الهندسة الإحداثية — النقاط والمستقيمات والميل" في القسم الكمي من اختبار القدرات العامة GAT. هذا الموضوع ضروري لقراءة العلاقات بين النقاط في المستوى. سنقدم شرحاً مبسطاً مع أمثلة تطبيقية ونماذج أسئلة.
المفهوم الأساسي
موضوع "الهندسة الإحداثية" يتعلق بفهم بنية القسم الكمي في GAT. لإتقان هذا الموضوع يجب الإلمام بالمفاهيم التالية:
- المستوى الإحداثي: محوران متعامدان (س الأفقي، ص العمودي) — كل نقطة (س، ص)
- الربعان: الأول (+،+) والثاني (-،+) والثالث (-،-) والرابع (+،-)
- المسافة بين نقطتين: جذر [(س2 - س1)² + (ص2 - ص1)²] — تطبيق مباشر لفيثاغورس
- منتصف القطعة: (س1+س2)/2 ، (ص1+ص2)/2 — متوسط الإحداثيات
- الميل (Slope): (ص2 - ص1) ÷ (س2 - س1) — يقيس انحدار الخط
- معادلة المستقيم: ص = م س + ب — م الميل، ب المقطع الصادي
شرح تفصيلي
لدراسة "الهندسة الإحداثية" بشكل متقن، نتبع المنهج التالي: فهم القاعدة الأساسية، الاطلاع على الأمثلة المتعددة، ثم التطبيق العملي على أسئلة متنوعة. كلما تدربت أكثر، أصبحت أكثر إتقاناً للمادة.
الهندسة الإحداثية تظهر في GAT كأسئلة مباشرة (الميل، المسافة، نقطة المنتصف) أو كأسئلة مقارنة (قارن ميلين، قارن نقاط). المهارة الأساسية: تحويل الموضع الهندسي إلى أرقام قابلة للحساب عبر الإحداثيات.
الميل: يقيس نسبة الارتفاع إلى العرض — إذا كانت النقطتان (2، 1) و (6، 5): الميل = (5-1) ÷ (6-2) = 4 ÷ 4 = 1 — خط مائل 45°. الميل الموجب يرتفع يميناً، والسالبة ينخفض يميناً، والصفر أفقي، وغير المعرف (∞) عمودي. سؤال المقارنة الشائع: قارن ميل خط أ وميل خط ب بمجرد النظر للإحداثيات.
المسافة: تطبيق فيثاغورس على الفروق: بين (1، 1) و (4، 5): الفرق في س = 3، وفي ص = 4 ← المسافة = جذر(9 + 16) = 5. لاحظ أن الأعداد 3-4-5 مثلث فيثاغورسي مشهور — التعرف على هذه الثلاثيات يسرع الحل (6-8-10، 5-12-13).
القواعد الإحداثية العملية
قواعد تختصر الحل في أسئلة الإحداثيات:
- نقطة المنتصف = متوسط الإحداثيات — بين (2، 4) و (8، 6): (5، 5).
- التناظر حول المحورين: حول محور س: (س، -ص) — حول محور ص: (-س، ص) — حول نقطة الأصل: (-س، -ص).
- معادلة المستقيم من الميل ونقطة: ص - ص1 = م (س - س1) — ثم بسّط للصورة القياسية.
- المستقيمان المتوازيان: ميلاهما متساويان — المتعامدان: حاصل ضرب ميلهما = -1.
- النقطة على المستقيم: تحقق معادلته — (2، 5) على ص = 2س + 1 لأن 5 = 4 + 1.
- تقاطع المستقيم مع المحورين: المقطع الصادي (ص = ب عند س = 0)، والمقطع السيني (عند ص = 0).
مثال التوازي والتعامد: خط أ معادلته ص = 2س + 3 — أي خط آخر موازٍ له ميله 2 (مثل ص = 2س - 1)، وأي خط عمودي عليه ميله -1/2 (لأن 2 × -1/2 = -1).
مثال محلول خطوة بخطوة
السؤال: "النقطتان أ (1، 2) و ب (5، 6). ما ميل المستقيم المار بهما؟ وما نقطة منتصفه؟"
الخطوة الأولى: الميل = (6 - 2) ÷ (5 - 1) = 4 ÷ 4 = 1. الخطوة الثانية: نقطة المنتصف = ((1+5)/2، (2+6)/2) = (3، 4). الخطوة الثالثة: التحقق: النقطة (3، 4) تقع على المستقيم ص = س + 1 (لأن 4 = 3 + 1 من معادلة الميل 1 والنقطة (1، 2): ص - 2 = 1(س - 1) ← ص = س + 1). الخطوة الرابعة: التطبيق: لو أضيفت نقطة ج (3، 4) — فهي المنتصف — أي النقطة الواقعة بينهما بالتساوي. الإجابة: الميل 1، والمنتصف (3، 4).
سؤال اختبار (MCQ)
السؤال: ما ميل المستقيم العمودي على المستقيم ص = 3س - 2؟
- أ) 3
- ب) -3
- ج) 1/3
- د) -1/3
الإجابة الصحيحة: د
الشرح: الخيار (د) صحيح: ميل المستقيم الأصلي 3 — والمتعامد عليه ميله مقلوب معكوس: -1/3 (لأن 3 × -1/3 = -1). (أ) ميل المتوازي، و(ب) مقلوب معكوس بعلامة خاطئة، و(ج) مقلوب بعلامة خاطئة.
تطبيق إضافي
السؤال: النقطة أ (2، 3) ونقطة ب (6، 3) ونقطة ج (6، 7). ما نوع المثلث أ ب ج وما مساحته؟
الإجابة: مثلث قائم الزاوية في ب — مساحته 8 وحدات مربعة.
الشرح: أ ب أفقي (ص ثابت 3) طوله 4، وب ج عمودي (س ثابت 6) طوله 4 — فهما متعامدان — المساحة = (4 × 4) ÷ 2 = 8. قراءة الإحداثيات تكشف الزاوية القائمة دون حساب ميل.
خلاصة الدرس
الهندسة الإحداثية في GAT تعتمد على: قراءة النقاط (س، ص) ومواقعها في الأرباع، وحساب الميل (فرق ص ÷ فرق س) ومعناه، والمسافة بفيثاغورس مع الثلاثيات الشهيرة، ونقطة المنتصف بالمتوسط، ومعادلة المستقيم ص = م س + ب، وقواعد التوازي (ميلان متساويان) والتعامد (حاصل ضرب = -1). القاعدة: كل مسألة إحداثية هي مسألة حساب فروق وتطبيق قواعد — اكتب الإحداثيات ثم نفذ.