GRE Quantitative — نظرية الأعداد والأعداد الأولية

GRE Quantitative — نظرية الأعداد والأعداد الأولية

في هذا الدرس ندرس موضوع "نظرية الأعداد والأعداد الأولية" في القسم الكمي من اختبار GRE. هذا الموضوع ضروري لإتقان أساسيات الأعداد في GRE. سنقدم شرحاً مبسطاً مع أمثلة تطبيقية ونماذج أسئلة.

المفهوم الأساسي

موضوع "نظرية الأعداد والأعداد الأولية" يتعلق بفهم بنية القسم الكمي في GRE. لإتقان هذا الموضوع يجب الإلمام بالمفاهيم التالية:

• الأعداد الأولية: أعداد تقبل القسمة على نفسها وعلى الواحد فقط — 2، 3، 5، 7، 11، 13
• العدد 2: العدد الأولي الزوجي الوحيد — كل الأعداد الأولية الأخرى فردية
• التحليل إلى عوامل أولية: تفكيك العدد لحاصل ضرب أعداد أولية — 60 = 2² × 3 × 5
• المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) والقاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) — أساس أسئلة الكسور
• القسمة والباقي: تمثيل العدد بصورته القسمية — ن = ق × ح + ب، حيث ب أقل من ق
• الخصائص: زوجي/فردي، قابل/غير قابل للقسمة — قواعد الجمع والضرب

شرح تفصيلي

لدراسة "نظرية الأعداد" بشكل متقن، نتبع المنهج التالي: فهم القاعدة الأساسية، الاطلاع على الأمثلة المتعددة، ثم التطبيق العملي على أسئلة متنوعة. كلما تدربت أكثر، أصبحت أكثر إتقاناً للمادة.

الأسئلة العددية في GRE تظهر في قسم Quantitative بصورتين: أسئلة كمية مباشرة وأسئلة مقارنة (Quantity A مقابل Quantity B). الفهم العميق لخصائص الأعداد يحل كثيراً منها دون حساب — مثال: "قارن بين عدد العوامل الأولية للعدد 36 وعددها للعدد 48" — بتحليل 36 = 2²×3² (عاملان أوليان: 2 و 3) و 48 = 2⁴×3 (عاملان أوليان أيضاً) — متساويان.

الأعداد الأولية: القاعدة الذهبية — العدد الأولي يقبل القسمة على 1 وعلى نفسه فقط. وأهم ما يجب حفظه: 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد، وهذا ينتج عنه حقائق مفيدة: كل عدد أولي أكبر من 2 فردي، والجمع بين عددين أوليين فرديين ناتجه زوجي، والجمع بين عدد أولي فردي و 2 ناتجه فردي. هذه الخصائص تحل أسئلة المقارنات بسرعة.

التحليل إلى عوامل أولية هو أداة كل شيء في نظرية الأعداد: القاسم المشترك الأكبر يؤخذ بأصغر أس لكل عامل، والمضاعف المشترك الأصغر بأكبر أس. مثال: 12 = 2²×3 و 18 = 2×3² — ق.م.أ = 2×3 = 6، وم.م.أ = 2²×3² = 36.

قواعد القسمة والزوجية والفردية

قواعد يجب حفظها للحل السريع:

• قابل للقسمة على 2: ينتهي برقم زوجي — على 5: ينتهي بـ 0 أو 5 — على 10: ينتهي بـ 0.
• على 3: مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3 — 123 (1+2+3=6) يقبل — على 9: المجموع يقبل القسمة على 9.
• على 4: آخر رقمين يقبلان القسمة — 732 (32) يقبل — على 8: آخر ثلاثة أرقام.
• على 11: الفرق بين مجموع الأرقام في المواقع الفردية والزوجية يقبل القسمة على 11.
• الزوجي والفردي: زوجي + زوجي = زوجي، فردي + فردي = زوجي، زوجي + فردي = فردي.
• الضرب: زوجي × أي عدد = زوجي، فردي × فردي = فردي، وأي حاصل ضرب يحتوي عاملاً زوجياً فهو زوجي.

مثال تطبيقي: "هل العدد 143 أولي؟" — القاعدة: افحص القسمة على الأعداد الأولية حتى جذر العدد (√143 ≈ 12): 143 ÷ 11 = 13 ← 143 = 11 × 13 ← ليس أولياً. الاختبار للأعداد الأولية يستمر حتى جذر العدد فقط، لا حتى نصفه.

القسمة والباقي

صيغة القسمة الأساسية: ن = ق × ح + ب، حيث 0 ≤ ب < ق. أمثلة أسئلتها في GRE:

• عندما تقسم 29 على 7: 29 = 7 × 4 + 1 ← الباقي 1.
• إذا كان باقي قسمة ن على 5 هو 2، فما القيم الممكنة لآخر رقم في ن؟ — آخر رقم 2 أو 7 (لأن الأرقام التي تعطي باقي 2 عند القسمة على 5).
• الأعداد المتتالية: من بين كل ثلاثة أعداد متتالية يوجد مضاعف للعدد 3 — خاصية تظهر في أسئلة المقارنات.
• مربعات الأعداد: عند قسمة أي مربع كامل على 4، الباقي 0 أو 1 — خاصية مهمة في المقارنات.

مثال سؤال مقارنة: "ن عدد صحيح، قارن بين: باقي قسمة ن² على 4 وبين 1" — من خاصية المربعات، الباقي 0 أو 1، فإذا كان 0 يكون أقل من 1، وإذا كان 1 يساوي — العلاقة غير محددة، والإجابة (لا يمكن تحديدها). هذا النوع يختبر فهم الخصائص لا الحساب.

مثال محلول خطوة بخطوة

السؤال: "كم عدد الأعداد الأولية بين 20 و 30؟"

الخطوة الأولى: افحص كل عدد بين 20 و 30: 21 = 3×7 (مركب)، 22 زوجي (مركب)، 23 — افحص القسمة على الأعداد الأولية حتى √23 ≈ 4.8: على 2 (لا)، 3 (لا)، 5 (لا) ← أولي. 24 زوجي، 25 = 5²، 26 زوجي، 27 = 3³، 28 زوجي، 29 — حتى √29 ≈ 5.4: على 2، 3، 5 (لا) ← أولي. الخطوة الثانية: العد: 23 و 29 فقط. الإجابة: عددان.

مثال آخر: "ما هو ق.م.أ للعددين 24 و 36؟" — التحليل: 24 = 2³×3، و 36 = 2²×3² — ق.م.أ = 2²×3 = 12.

سؤال اختبار (MCQ)

السؤال: ما هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين 14 و 21؟

1. أ) 7
2. ب) 42
3. ج) 84
4. د) 147

الإجابة الصحيحة: ب

الشرح: الخيار (ب) صحيح: التحليل 14 = 2×7 و 21 = 3×7 — م.م.أ = 2×3×7 = 42. الخيار (أ) هو القاسم المشترك الأكبر (يخلط بين القاسم والمضاعف)، و(ج) ضعف الإجابة الصحيحة، و(د) حاصل ضرب العددين الخام (وهو كبير جداً لأن العددين يشتركان في 7).

تطبيق إضافي

السؤال: ن عدد زوجي موجب. قارن بين: (أ) ن² + 1 وبين (ب) 1

الإجابة: (أ) أكبر دائماً.

الشرح: ن زوجي موجب فأصغره 2، و2² + 1 = 5 > 1، وكل القيم أكبر — العلاقة محسومة. هذه المقارنات تحل بالخصائص قبل الحساب: ن² زوجي موجب، فزائد 1 أكبر من 1 حتماً.

خلاصة الدرس

نظرية الأعداد في GRE تعتمد على أربع ركائز: الأعداد الأولية (2 الزوجي الوحيد، والفحص حتى الجذر)، والتحليل إلى عوامل أولية (ق.م.أ بأصغر أس، م.م.أ بأكبر أس)، وقواعد القسمة والزوجية (قواعد 2، 3، 4، 5، 9، 11)، وصيغة القسمة والباقي (ن = ق×ح + ب). احفظ هذه الخصائص فهي تحل أسئلة المقارنات والكمية دون حساب مطول.