التباديل والتوافيق والاحتمالات — أسس العد المتقدم
في هذا الدرس ندرس موضوع "التباديل والتوافيق والاحتمالات" في القسم الكمي من اختبار القدرات للجامعيين GAT-G. هذا الموضوع ضروري لإتقان أسئلة العد والاحتمال المتقدمة. سنقدم شرحاً مبسطاً مع أمثلة تطبيقية ونماذج أسئلة.
المفهوم الأساسي
موضوع "التباديل والتوافيق والاحتمالات" يتعلق بفهم بنية القسم الكمي المتقدم. لإتقان هذا الموضوع يجب الإلمام بالمفاهيم التالية:
- مبدأ العد الأساسي: عدد طرق عدة خطوات = حاصل ضرب خيارات كل خطوة
- التباديل (Permutations): ترتيب العناصر مع مراعاة الترتيب — "المقام الأول" يختلف عن الثاني
- التوافيق (Combinations): اختيار العناصر دون مراعاة الترتيب — اختيار فريق لا ترتيب فيه
- الفرق الجوهري: في التباديل (أ، ب) ≠ (ب، أ)، وفي التوافيق متساويان
- الاحتمال: عدد الحالات المطلوبة ÷ عدد الحالات الكلية الممكنة
- الاحتمالات المتتالية: ضرب الاحتمالات للأحداث المستقلة — وسلوك العينات بدون إرجاع يغير الاحتمال
شرح تفصيلي
لدراسة "التباديل والتوافيق والاحتمالات" بشكل متقن، نتبع المنهج التالي: فهم القاعدة الأساسية، الاطلاع على الأمثلة المتعددة، ثم التطبيق العملي على أسئلة متنوعة. كلما تدربت أكثر، أصبحت أكثر إتقاناً للمادة.
أسئلة العد والاحتمالات في GAT للجامعيين تظهر كثيراً لأنها تقيس التفكير المنطقي المنظم. الخطأ الأكبر: الخلط بين التباديل والتوافيق. القاعدة الفاصلة الواحدة: هل الترتيب مهم؟ إذا كان المطلوب "تكوين رقم من أرقام" أو "ترتيب طلاب" أو "توزيع جوائز" (الأول والثاني) ← ترتيب مهم ← تباديل. إذا كان المطلوب "اختيار لجنة" أو "اختيار فريق" أو "اختيار كتب" (بلا مراتب) ← الترتيب غير مهم ← توافيق.
التباديل: عدد طرق ترتيب ن عنصراً = ن! (مضروب ن = ن × (ن-1) × ... × 1). ترتيب 4 كتب على رف = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. واختيار وترتيب ر عنصر من ن: ن × (ن-1) × ... × (ن-ر+1). ترتيب 3 جوائز بين 10 متسابقين = 10 × 9 × 8 = 720.
التوافيق: عدد طرق اختيار ر عنصر من ن دون ترتيب = (ن فوق ر) = ن! ÷ (ر! × (ن-ر)!). اختيار 3 أعضاء لجنة من 10 = (10×9×8) ÷ (3×2×1) = 720 ÷ 6 = 120. لاحظ: قسمنا على 3! لأن كل مجموعة داخلية لها 6 ترتيبات متساوية لا نفرق بينها.
الاحتمالات في GAT للجامعيين
مبادئ الاحتمال الأساسية:
- الاحتمال الأساسي: ح (الحدث) = عدد النواتج المطلوبة ÷ عدد النواتج الكلية. رمي نرد: ح (العدد 4) = 1/6، وح (عدد زوجي) = 3/6 = 1/2.
- الأحداث المستقلة: ح (أ ثم ب) = ح(أ) × ح(ب) — رمي نردين: ح (6 و 6) = 1/6 × 1/6 = 1/36.
- السحب بدون إرجاع: الاحتمال يتغير بعد كل سحب — كيس فيه 3 كرات حمراء و 2 زرقاء: ح (سحبتان حمراوان) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10 (لاحظ المقام نقص بعد الأولى).
- الأحداث المتنافية: ح (أ أو ب) = ح(أ) + ح(ب) — ح (عدد أولي أو زوجي) في نرد... انتبه للتقاطع.
- الاحتمال المكمل: ح (عدم الحدوث) = 1 - ح (الحدوث) — ح (عدم ظهور 6) = 1 - 1/6 = 5/6.
مثال مركب شائع: "كيس فيه 4 كرات حمراء و 6 بيضاء. سحبنا كرتين معاً. ما احتمال أن تكونا حمراوين؟" — الحل بالتوافيق: عدد طرق اختيار كرتين حمراوين من 4 = توافيق(4,2) = 6، وعدد طرق اختيار أي كرتين من 10 = توافيق(10,2) = 45 ← الاحتمال = 6/45 = 2/15.
مثال محلول خطوة بخطوة
السؤال: "كم طريقة يمكن بها اختيار لجنة من 3 طلاب من بين 8 طلاب؟"
الخطوة الأولى: حدد النوع: "اختيار لجنة" — لا مراتب ولا ترتيب ← توافيق. الخطوة الثانية: طبّق القانون: توافيق(8,3) = 8! ÷ (3! × 5!) = (8 × 7 × 6) ÷ (3 × 2 × 1). الخطوة الثالثة: بسط: (8 × 7 × 6) = 336، و (3 × 2 × 1) = 6 ← 336 ÷ 6 = 56. الإجابة: 56 طريقة.
مثال على التباديل: "كم رقمًا من 3 خانات مختلفة يمكن تكوينه من الأرقام 1 إلى 5؟" — الترتيب مهم (رقم يختلف بترتيب خاناته) ← تباديل: 5 × 4 × 3 = 60.
مثال على الاحتمال: "رمي عملة مرتين. ما احتمال ظهور صورة مرتين؟" — الحالات الكلية 4 (صص، صك، كص، كك)، والمطلوبة 1 ← الاحتمال 1/4. أو بالضرب: 1/2 × 1/2 = 1/4.
سؤال اختبار (MCQ)
السؤال: كيس يحتوي 3 كرات صفراء و 5 خضراء. سُحبت كرتان على التوالي دون إرجاع. ما احتمال أن تكون الأولى صفراء والثانية خضراء؟
- أ) 15/64
- ب) 15/56
- ج) 3/8
- د) 5/8
الإجابة الصحيحة: ب
الشرح: الخيار (ب) صحيح: ح(صفراء أولاً) = 3/8، وبعد سحبها بقي 7 كرات منها 5 خضراء: ح(خضراء ثانياً) = 5/7، وبالضرب: 3/8 × 5/7 = 15/56. الخيار (أ) يفترض الإرجاع (3/8 × 5/8)، و(ج) و(د) احتمالان منفردان وليسا متتاليين.
تطبيق إضافي
السؤال: كم طريقة يمكن بها ترتيب 5 طلاب حول طاولة دائرية؟
الإجابة: 24 طريقة.
الشرح: الترتيب الدائري قاعدته: (ن - 1)! لأن الدوران لا ينتج ترتيباً جديداً: (5 - 1)! = 4! = 24. هذه قاعدة خاصة تستحق الحفظ لأنها تظهر أحياناً في أسئلة GAT للجامعيين.
خلاصة الدرس
التباديل والتوافيق والاحتمالات تحل بقاعدة فاصلة واحدة: الترتيب مهم؟ (نعم ← تباديل ن×ر، لا ← توافيق). تذكر مضروب العدد للترتيب الكامل، والقسمة على ر! في التوافيق، ومبادئ الاحتمال الخمسة (الأساسي، المستقل، بدون إرجاع، المتنافي، المكمل)، ولا تنسَ قاعدة الترتيب الدائري (ن-1)!. تدرب على التمييز بين الأنواع وستحصد درجات هذا النوع بسهولة.