التفاضل — تطبيقات المشتقة: المماس والمعدل المتغير

التفاضل — تطبيقات المشتقة: المماس والمعدل المتغير

في هذا الدرس ندرس موضوع "التفاضل — تطبيقات المشتقة: المماس والمعدل المتغير" في اختبار التحصيلي SAAT — الفرع العلمي (الرياضيات). هذا الموضوع ضروري لتطبيق المشتقة في المسائل. سنقدم شرحاً مبسطاً مع أمثلة تطبيقية ونماذج أسئلة.

المفهوم الأساسي

موضوع "تطبيقات المشتقة" يتعلق بفهم بنية اختبار SAAT. لإتقان هذا الموضوع يجب الإلمام بالمفاهيم التالية:

• المشتقة: معدل تغير الدالة لحظياً — ميل المماس عند نقطة — ص' أو دص/دس
• المماس: خط مستقيم يمس المنحنى عند نقطة — ميله = قيمة المشتقة عند تلك النقطة
• معادلة المماس: ص - ص1 = م (س - س1) — حيث م = المشتقة عند النقطة
• المعدل المتغير: مشتقة كمية بالنسبة للزمن — السرعة = مشتقة المسافة، والعجلة = مشتقة السرعة
• قاعدة القوة: مشتقة س^ن = ن س^(ن-1) — وأساس تطبيقات المسائل
• التناقص والازدياد: مشتقة موجبة ← دالة متزايدة، وسالبة ← متناقصة، وصفر ← نقطة حرجة

شرح تفصيلي

لدراسة "تطبيقات المشتقة" بشكل متقن، نتبع المنهج التالي: فهم القاعدة الأساسية، الاطلاع على الأمثلة المتعددة، ثم التطبيق العملي على أسئلة متنوعة. كلما تدربت أكثر، أصبحت أكثر إتقاناً للمادة.

المشتقة ليست مجرد تمرين حسابي — إنها أداة قراءة: تقرأ ميل المنحنى عند أي نقطة، ومعدل تغير كمية فيزيائية، واتجاه الدالة (تزايداً أو تناقصاً). أسئلة SAAT تطبيقية: مماس لمنحنى، سرعة متحرك، أو تحديد نقطة حرجة.

المماس خطوة بخطوة: للدالة ص = س² - 3س + 2 عند س = 2: (1) المشتقة: ص' = 2س - 3. (2) الميل عند س = 2: ص'(2) = 2(2) - 3 = 1. (3) نقطة التماس: ص(2) = 4 - 6 + 2 = 0 ← النقطة (2، 0). (4) المعادلة: ص - 0 = 1(س - 2) ← ص = س - 2. هذه خطوات سؤال المماس القياسية.

المعدل المتغير: في الفيزياء — الموضع ن(ن) = 5ن² + 2ن (ن بالثواني): السرعة = ن'(ن) = 10ن + 2 — عند ن = 3 ثوانٍ: السرعة = 32 م/ث. والعجلة = ن''(ن) = 10 (ثابتة). السؤال الشائع: "ما سرعة الجسم بعد 4 ثوانٍ؟" ← ن'(4) = 42.

التزايد والتناقص والنقاط الحرجة

قراءة اتجاه الدالة بالمشتقة:

1. ص' > 0 عند نقطة ← الدالة متزايدة هناك (منحنى صاعد).
2. ص' < 0 ← متناقصة (منحنى هابط).
3. ص' = 0 ← نقطة حرجة — قد تكون قمة (عظمى محلية) أو قاع (صغرى محلية).
4. التمييز: إشارة المشتقة حول النقطة — من موجب لسالب ← عظمى، ومن سالب لموجب ← صغرى.
5. التحقق الثاني: المشتقة الثانية — ص'' < 0 عند الحرجة ← عظمى، و ص'' > 0 ← صغرى.
6. مثال: ص = س² - 4س + 5 — ص' = 2س - 4 — حرجة عند س = 2 — ص'' = 2 > 0 ← صغرى محلية (قيمة ص = 1).

سؤال النمط: "متى تكون الدالة متزايدة؟" — حل المتباينة ص' > 0: لص = س² - 4س: ص' = 2س - 4 > 0 ← س > 2. الإجابة: الدالة متزايدة عندما س أكبر من 2.

مثال محلول خطوة بخطوة

السؤال: "أوجد معادلة المماس للمنحنى ص = س³ عند النقطة س = 1."

الخطوة الأولى: النقطة: ص(1) = 1³ = 1 ← (1، 1). الخطوة الثانية: المشتقة: ص' = 3س². الخطوة الثالثة: الميل: ص'(1) = 3(1)² = 3. الخطوة الرابعة: المعادلة: ص - 1 = 3(س - 1) ← ص = 3س - 2. الخطوة الخامسة: التحقق: عند س = 1: ص = 3 - 2 = 1 ✓ — والميل 3 منطقي للمنحنى المتزايد. الإجابة: ص = 3س - 2.

سؤال اختبار (MCQ)

السؤال: ما ميل المماس للمنحنى ص = 3س² - 2س + 1 عند النقطة س = 2؟

1. أ) 8
2. ب) 10
3. ج) 12
4. د) 14

الإجابة الصحيحة: ب

الشرح: الخيار (ب) صحيح: المشتقة ص' = 6س - 2 — وعند س = 2: ص'(2) = 12 - 2 = 10. (أ) ناتج 6س عند 2 فقط بلا طرح، و(ج) ناتج 6(2) مع إهمال -2 ثم خطأ، و(د) ناتج جمع 12 + 2.

تطبيق إضافي

السؤال: جسم يتحرك وفق ن(ن) = 4ن² - 6ن. ما سرعته وعجلته عند ن = 5؟

الإجابة: السرعة = 34 م/ث، والعجلة = 8 م/ث².

الشرح: السرعة ن' = 8ن - 6 ← عند 5: 40 - 6 = 34. والعجلة ن'' = 8 ثابتة. تذكر: السرعة مشتقة أولى والعجلة مشتقة ثانية.

خلاصة الدرس

تطبيقات المشتقة في SAAT تعتمد على: حساب المشتقة بقاعدة القوة، ومعادلة المماس بالخطوات الأربع (نقطة ← ميل ← معادلة)، والربط الفيزيائي (سرعة = مشتقة موضع، وعجلة = مشتقة ثانية)، وقراءة الاتجاه (موجبة متزايدة، سالبة متناقصة، صفر حرجة) وتحديد القمة والقاع. القاعدة: المشتقة ميلٌ في الهندسة ومعدلٌ في الفيزياء واتجاهٌ في التحليل — وظيفتها واحدة بثلاثة وجوه.